logocom: loquendi libertatem custodiamus

Voor de mensen die de pagina 'hersenbedrog' zoeken: klik hier

17/07/2010 Nieuw, klik hierop: zeer leuk zeemacht-raadseltje: bootje en zwemmer, wanneer halen ze elkaar in??

10. 1. Pi eenvoudig uitgelegd ('backspace' = hoofdmenu)

Mijn vader is een beetje naar het waanzinnige toe aan het uitpluizen wat Pi nu eigenlijk is, en ook in Japan vind ik talloze sites van mensen die maniakaal zoeken naar wat dat oneindige getalleke nu juist is.  Als reactie daarop, wou ik hieronder toch eventjes eenvoudig schetsen wat pi volgens mij concreet betekent (in reactie op sommige wiskundeleerkrachten bovendien, ajajaj).

Pi poogt de verhouding weer te geven tussen een recht lijnstukje en een perfect cirkelvormig lijnstukje.  Als je dit op papier probeert, dan zul je dus hoedanook aan een formule komen die altijd maar iets bijvoegt of iets aftrekt.

In werkelijkheid is het getal PI zelf volledig fout want iedereen weet dat MIDDELLIJN X PI de omtrek van een cirkel geeft.  Maar niemand kan op een cirkel het verband zien tussen een middellijn en een volledige omtrek.  Als we de formule herschrijven met de straal i.p.v. pi, dan komen we op straal x 2 x pi.  Oorspronkelijk dacht ik dat PI gedeeld door twee begrijpbaarder was, omdat ik bij het tekenen op een cirkel zag dat dit de verhouding zou betekenen tussen de straal r en het gebogen deel dat van uit het raakpunt met de cirkel vertrekt (1/2de van een cirkel).  Maar nee, ook daar kun je er niet mee raken om de formule te zien, want dan maak je van een halve lijn een volledige halve cirkel.   Allesbehalve logisch, niet waar?  Leibnitz vond dit trouwens wellicht ook al in 1674 omdat zijn formule blijkbaar ook niet van Pi in zijn geheel vertrekt.

De werkelijke Pi die je visueel (frontale hersenen) kunt controleren is, is het getal Pi/4.  En deze kun je inderdaad vanuit de straal berekenen, want niemand leert nog op school de werkelijke formule, en daarom geef ik deze hieronder mee.  Op het einde geef ik je ook in Mumps (lijntje opzettelijk nogal basic-achtig geschreven, dus begrijpbaar voor iedere programmeur) om Pi daarmee zelf te berekenen.  Let wel op: middellijn X pi = omtrek, dus straal X pi/4 = 1/8ste van de omtrek!  Zie tekening die ik hieronder (onprofessioneel met Paintbrush) gemaakt heb.

Bij een cirkel met straal 1 is Pi/4 (rood omlijnde boogdeel) met de formule van Leibnitz  exact gelijk aan:
een (eende ?) min een derde plus een vijfde min een zevende plus een negende min een elfde plus een dertiende...
ofte 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/15 - 1/17 + 1/19 - ... + ... (Leibnitz schreef wel 1 ipv 1/1, maar ja).

wpe8.jpg (11516 bytes)

Hiernaast mijn primitieve schets om die formule te visualiseren.

1. Pi gedeeld door vier, komt bij een straal 'r' gelijk aan 1, uit op het deeltje in het rood gekleurd hiernaast (1/8ste van de omtrek).

2. De lengte r, gelijk aan 1 zoals gezegd, stemt overeen met de rechte die op de raaklijn ligt (als ik me zo onorthodox mag uitdrukken) en die ik ook met 'r' aangeduid heb (vierkant).

3. Als je die rood omcirkelde kromme zou 'recht'-sleuren, dan kun je met loodlijnen, en delingen van veelvouden eerst projecteren via een rechte loodlijn naar 1 (of 1/1), het eerste element.

4. Maar dit is te lang.  Een correctie dient zich op, en wel ten belope van 1/3de van de straal.

5. Ik heb teveel gecorrigeerd, ik dien weer 1/5de bij te tellen (probleem om dit te tekenen ligt in het feit dat je een alternerend beginpunt hebt, dit is trouwens een ideale mogelijkheid om oneindige spiralen te tekenen, in mijn ogen omgekeerde bron van leven; zie ook basisdogma Alchemie).

Ik hoop dat je nu wel kunt volgen (toevallige lezers, Klik hierop om ons uw mening + kritiek te geven). 

Maar voor de programmeurs, had ik ook beloofd mijn zr eenvoudige broncode in n lijntje te geven (ik vertrek van viervouden omdat ik dan gemakkelijk altijd kan optellen en aftrekken tegelijk):


SET PI=0 FOR A=1:4 WRITE !,A SET PI=PI+(1/A)-(1/(A+2)) WRITE ?15,PI,?35,(PI*4)
Als je computer eventjes bezig is, en bijvoorbeeld aan A=653495137 zit, dan heb je een resultaat van Pi/4 gelijk aan:
.7853981626315535
Pi zelf is dan gelijk aan bovenstaande getal X 4 ofte
3.141592650526214 (toch nog ernstig fout)
Betekent in Basic:
start van waarde 0, lusloop van 1 tot oneindig per stap van 4, neem nieuwe lijn op scherm (=WRITE !), voer volgende twee elementen uit formule van Leipnitz uit, schrijf op positie 15 (=?15) mijn pi, alsook de wiskundige pi (X 4) bij toenemende benadering.

Maar je ziet het, zelfs de strafste computer doet er op deze manier dagen over...  Met google kun je echter duizenden sites vinden met allerlei soorten programmaatjes die veel sneller werken, maar niet zo begrijpbaar zijn.  Van pi bestaan trouwens talloze formules, die allemaal op hetzelfde neerkomen.

Meer uitleg kun je trouwens steeds bekomen op info@logocom.be of bij je wiskundeleerkracht.

Toch maniak of wil je het record van Hiroyuki Goto breken?  Dan moet je bijvoorbeeld naar http://www.cecm.sfu.ca/pi/yap2.5M.html surfen en kun je meteen getallen leren in het Chinees, Turks, Hebreeuws enz. maar de mooiste taal die je daar kunt selecteren, vind ik nog steeds: Morse (pas op: soms is die server 'down', heb ik gemerkt).

Addendum d.d. 28/04/03: van Paul Beeckman (werkzaam bij Joris IDE groep ofte http://www.joriside.be - dat vind ik nu eens echt een voorbeeldsite van eenvoud n informatie) kreeg ik ook nog een link naar zeer interessante site van de Vlaamse natuurkundige/wiskundige Johan Gielis, zijnde www.geniaal.be en waarvan ik meteen het boek "De uitvinding van de cirkel" besteld heb.  Een kleine opmerking misschien over de pagina's waarop op het eerste gezicht zeer complexe formules tevoorschijn komen: In de humaniora hebben de meesten van ons 'integralen' gezien.  Wat de meesten echter niet weten, is dat integralen oorspronkelijk toegepast werden om... oppervlakten te berekenen van zeer complexe figuren.  Opnieuw jammer dat veel leerkrachten dit niet beter duidelijk maken en bijvoorbeeld een tanker die te water gaat, gaan berekenen om te kijken hoeveel water hij verplaatst, hoe zwaar dat water weegt, en na aftrek van het gewicht van de tanker te kunnen kijken hoeveel ton ruwe olie ermee kan vervoerd worden.  Zou trouwens zeer actueel zijn nu de grootste tankers onder... Belgische vlag zullen varen!

VAN BELLE Jean Marc, Bellegoed, Bellegem, 26/04/04, 01:51

Aanvulling d.d. 20/02/2006:

opsommingsteken

Voor het VTI van Izegem maakte ik een nieuwe syllabus van het onderdeel generatoren [magnetisme/wisselspanning] en u vindt de .PDF-file hiervan op deze link.

Ik ben niet zo slim als jullie denken hoor, ik ben gewoon iemand die erg genteresseerd is in alle soorten zaken en lang kan zoeken.  Op deze link vind je mijn IQ-test die goed maar niet bijzonder begaafd uitvalt.  Op deze link vind je de IQ-test van mijn zoontje floris (die heeft meer pech want hij scoort te hoog om zich wellicht erg gelukkig te voelen in zijn vel en ook door mijn vroegere onwetendheid en schuld is hij voor een stuk door rilatine/concerta kapot gemaakt).

Aanvulling d.d. 18/07/2010: rekenraadseltje

10. 2. Toverbreuken, magie der cijfers bij deling door 9 ('

Het startte met dit raadseltje dat ik kreeg van Dennis Dupont (met dank voor z'n goede zorgen voor mijn jongste zusje):

10.2.1. Het raadseltje (met dank aan Denis)

Wedloop met de tijd, zet er vaart achter...

Het is zaterdagavond, de lente hangt in de lucht en we zijn op stap naar het clublokaal.
Jaarlijks organiseert onze duikclub een spetterende palla-avond.
De meeste feestvierders zijn reeds aanwezig en sommigen hebben nu al te veel glazen op.
Pa- en Malla roeren nog even in de reuzepannen.
Er wordt gegeten en alweer gedronken.
Aan alle tafels wordt er gebulderd en gelachen.
Er wordt druk gepraat over onze hobby tot plotseling iemand roept:
"Wedden dat ...."

"Ge durft niet!"

"Wadde, ik nie durven?"

"Wie vaart er?"

"Geen tijd te verliezen,onmiddellijk naar de vaart en zet er vaart achter."

De weddingschap zou onmiddellijk worden uitgevoerd.
En zwemmer en n man met een bootje. Ze bepalen een wateromloop langs de vaart.
Ze doen aangepaste kledij aan om de kou te trotseren.

De datum?
We zijn nu 29/03/09. Het is nog steeds nacht en buiten is het 11. De watertemperatuur bedraagt precies 7 en het is windstil.
Het startschot wordt gegeven. Zowel de zwemmer als het bootje vertrekken gelijktijdig.
Het is exact 01:11:11 h.

De weddingschap?
Als de zwemmer met een constante snelheid zwemt die 9x trager is dan de snelheid van het bootje,
dan kan het bootje hem niet inhalen voor 02:22:22 h.
De man in het bootje doet zijn uiterste best en vaart 1 volledige omloop af in 1u aan een constante snelheid van 9 knopen.

Vraag is nu:
1) Wat is de juiste tijd op het moment dat het bootje de zwemmer inhaalt. AB:CD:EF h
2) Hoeveel m heeft het bootje dan afgelegd GHIJK,L meter
3) Hoeveel m heeft de zwemmer dan afgelegd MNOP,Q meter
R= B+E-F
S= C+D

Cordinaten:
N LK NO.BHJ
E P GS.RMF

 

 10.2.2. De logica

Om dit op te lossen moet je gewoon een blad papier nemen en niet wiskundig denken, maar speels tekenen. Ik geef je de wijze mee, waarop ik hiermee 'speels creatief omga' en wil aantonen dat wiskunde niet te maken heeft met opleiding, maar met loslaten en kennis zichzelf laten geworden.

Er zijn heel wat mogelijkheden om tot het resultaat te komen, maar kijk hoe ik dit tekende en hoe je wonderbaarlijke getallen te voorschijn ziet komen als ware het religie (en sorry voor de vele zever ertussen, aardje naar m'n vaartje):

opsommingsteken

Het leukste aan de opgave is dat er echt hilarisch veel informatie in staat die je helemaal niet nodig hebt. Ware het niet dat op het einde meters afstand gevraagd werd, dan mocht je even goed zeggen in het raadseltje dat de boot 9 'van belletjes' snel ging en de zwemmer 'maar 1 van belletje snel' (1 bel = 10 decibel propos, maar wie ons kent, hoort dat wel). 

opsommingsteken

Dus: iedereen leest dat als de boot 9 rond gegaan is, de zwemmer veel trager maar toch ook niet meer stond waar hij vertrok, zijnde punt 0 of in dat geval punt 9. 9 wordt beschouwd als 1 ronde en vandaar dat we gaan rekenen in 'ronden'

opsommingsteken

Nogmaals: Als de boot op 1 (ronde) komt, dan is ons jongste Van Belletje al 1/9de verder geraakt, vandaar dat ik de klok als stand 1 aanduid op 9.  De breuk wordt: 1 + 1/9. De boot haalt NIET in. 

opsommingsteken

Supertof is de decimale notatie van 1/9de: 0,111111111... (dt vind ik nu eens leuk en dit soort wiskunde geef ik altijd aan kindjes, mezelf dus).

opsommingsteken

Hij vaart zelf ook 1/9de door. Op het moment dat de boot daar aan komt, heeft de zwemmer terug 1/9de van dat 1/9de verder gezwommen. Of dat is 1/81ste.

opsommingsteken

Supertof is de decimale notatie van 1/81ste: 0,012345679012345679012345679012346 (ja, zo speelde ik al met mijn rekenmachine in de studie van Sint-Leocollege, studeren deed ik alleen maar graag NADAT het niet meer verplicht was en ik al ging werken)

opsommingsteken

En nu zijn we meteen aan het oude Griekse raadsel of de Paradox van Zeno van Elea waarbij de haas nooit de schildpad kan inhalen (zie deze link op Wikipedia) omdat we in verhoudingen verder moeten. We tellen dus 1/9de van 1/9de van 1/9de door of de reciprook (moeilijk woord voor het omgekeerde of 1 gedeeld door dat getal) van 9 (9 tot de 3de).

opsommingsteken

Supertof is de decimale notatie van 1/729 (let er ook op dat elke macht van 9 als som ook 9 uitkomt, negenproef met negen noemt men dit): 0,0013717421124828532235939643347051 (wie het niet ziet, er zit o.a. op elke 10de positie een sprong van 00 naar 11 naar 22 naar 33 maar nog van dat leuks als je heel goed kijkt).

opsommingsteken

En zo gaat het almaar verder met telkenmale een hogere macht.

opsommingsteken

Wie een rekenmachine heeft, denkt dat hij zo een oneindig getal uitkomt, want delen door 9 is een oneindig getal, maar dit is niet zo!  Als je het zou de machtsbreuken zou tekenen op een cirkel, zul je zien dat in het oneindige je op een andere logica uit zou komen, die ook logisch is en meteen het correcte antwoord had gegeven:

opsommingsteken

Als de boot 8 snelheden rapper gaat dan de andere, dan zal hij uiteindelijk op 1/8ste verder van het geheel naast hem komen en het inhaalpunt bereiken.

opsommingsteken

Vandaar ofwel de afgeronde waarde ofwel de exacte waarde 1 over 8 ofwel 0,125 + de vorige toer (1 geheel) geeft 1,125!

10.2.3. De oplossing

opsommingsteken

We hebben dus de oplossing: Het punt is 1,125 van de toer.  Daarmee kun je alles berekenen, behalve het aantal meter omdat je pas met de snelheid kunt weten hoeveel meter per seconde we gaan of hoeveel kilometer per uur we gaan (voor de onwetenden onder ons, op http://logocom.be/technisch/medisch/rilatine/ onder puntje 29 vind je mijn uitleg toen ik les gaf aan het VTI Izegem dat jij achter je leesstoel bij de computer niet alleen sneller dan 1000 km/h 'vliegt', maar zelfs vanzelfs meer dan 17.000 km/h).

opsommingsteken

Gegeven is immers dat de boot exact 1 uur doet over zijn ronde, dus het gegeven of Denis mijn jongste zusje haar knoopjes van haar bloes los doet en hoe snel 1 knoop dus gaat in die context, is hier van geen enkel belang (best zo traag mogelijk, vermoed ik).  Er moet immers gewoon 0,125 bij het uur geteld worden ofwel 1 uur X 1,125 uur.

opsommingsteken

Omdat velen digitaal en analoog echter niet goed weg kunnen, of zelfs niet weten waarom er 24 h op een dag zijn of 60 minuten in een uur en 60 seconden in een minuut (na een foutieve uitleg van een professor op Radio 2 gaf ik daar de simpelste uitleg voor met de papa van Jezus als timmerman 2000 jaren geleden over hoe je cirkels indeelt met een passer zoals in het kleutertje in het voor-computertijdperk, vraag uitleg aan info@logocom.be als je het niet zelf vindt) help ik je ook hier even:

opsommingsteken

Uur: 1 h X 1,125 = 1,125 h. Tellen bij beginuur 11:11:11 en AB in de vraag wordt dus 12 h, rest 0,125 uur.

opsommingsteken

Minuten: 0,125 X 60 = 7,5 minuten; 11 minuten + 7 minuten geeft 18 minuten rest 0,5 en CD wordt dus 18 minuten.

opsommingsteken

Seconden: 0,5 minuten X 60 = 30 seconden, EF wordt dus 30.

opsommingsteken

Antwoord 1 wordt dus 12:18:30 h als AB:CD:EF

opsommingsteken

Om vraag twee te weten, zie je plots 'meter' staan. Nu ben ik wel de meter niet van wie Dennis haar knoopjes los maakt, maar, wie ooit bij een bootje zwom zal wel geweten hebben dat je knopen en meter wel degelijk in verband staan met elkaar. Een zeer leuke pagina met bijna 20 linken op Wikipedia over alle soorten knopen (behalve die bij mijn zusje), vind je dan weer op http://nl.wikipedia.org/wiki/Knopen. Zo kun je zelf de snelheid omrekenen.

opsommingsteken

Het belangrijkste geschiedkundige daar is dat een zeemijl ooit gedefinieerd was als een boogminuut van een grootcirkel van de aarde, dus pure magie. De misvatting van 'knopen per uur' werd trouwens verleden jaar al upgedate op Wikipedia want dat is een versnelling en geen snelheid (meter per seconde per seconde zoals de oude encyclopedie Wereld der Wetenschap op een voor mij kindse wijze mij leerde en mij ook het geheim bracht waarom mijn vader zo geniaal veel slimmer dan alle elf de kinderen was; i.p.v. aan mijn moeders knoopjes te zitten - op minstens elf keren na - zat hij die boeken te lezen in bed).

opsommingsteken

 Vanaf daar werd het te saai voor mij en gaf ik het op... Ik hoor het wel van jullie als jullie het...

opsommingsteken

niet of wel vinden

10.2.4. Het levensechte antwoord en mijn vraag

Al deze goede wiskunde ten spijt:

De boot haalt de zwemster NOOIT in. Ze verleidt de chauffeur met haar rode bikini'tje op de boot en ze vrijden nog lang en gelukkig...

Veel lieve groetjes,

vanwege een spelende leerpapa van nog drie gekke kindjes,

rebels Van Belletje uit Bellegoed Bellegem.